题目内容
（2013•盐城模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为
4
4
，OB的长为5
5
；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为
2n+3
2n+3
．（用含n的式子表示）分析：（1）作P1H1⊥OB于H1，P1Q⊥AO于Q，P1E1⊥AB于E1，根据圆的切线性质和切线长定理得到P1H1=P1Q=P1E=1，OQ=OH1=3，BH1=BE，易得四边形AQP1E为正方形，
则AQ=AW=P1Q=1，所以AO=4，然后利用勾股定理可计算出BH1=2，从而可计算出OB=5；
（2）作PnHn⊥OB于Hn，PnEn⊥CD于En，根据题意得H1Hn=P1Pn=2（n-1），由AB∥CD得∠OBA=∠ODC，根据切线长定理得∠H1BP1=
∠OBA，∠HnDPn=
∠ODC，
根据“AAS”可判断△H1BP1≌△HnDPn，则BH1=DHn=2，然后利用OD=OH1+H1Hn+DHn进行计算即可．
则AQ=AW=P1Q=1，所以AO=4，然后利用勾股定理可计算出BH1=2，从而可计算出OB=5；
（2）作PnHn⊥OB于Hn，PnEn⊥CD于En，根据题意得H1Hn=P1Pn=2（n-1），由AB∥CD得∠OBA=∠ODC，根据切线长定理得∠H1BP1=
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根据“AAS”可判断△H1BP1≌△HnDPn，则BH1=DHn=2，然后利用OD=OH1+H1Hn+DHn进行计算即可．
解答：
解：（1）作P1H1⊥OB于H1，P1Q⊥AO于Q，P1E1⊥AB于E1，如图，
∵⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．
∴P1H1=P1Q=P1E=1，OQ=OH1=3，BH1=BE，
∵∠OAB=90°，
∴四边形AQP1E为正方形，
∴AQ=AW=P1Q=1，
∴AO=OQ+AQ=3+1=4，
在Rt△ABO中，OB2=OA2+AB2，
∴（3+BH1）2=42+（1+BH1）2，解得BH1=2，
∴OB=OH1+BH1=3+2=5；
（2）作PnHn⊥OB于Hn，PnEn⊥CD于En，如图，
∵P1Pn=2（n-1），
∴H1Hn=2（n-1），
∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
∵⊙P1是△OAB的内切圆，⊙Pn与CD相切，
∴∠H1BP1=
∠OBA，∠HnDPn=
∠ODC，
在△H1BP1和△HnDPn中
，
∴△H1BP1≌△HnDPn（AAS），
∴BH1=DHn=2，
∴OD=OH1+H1Hn+DHn=3+2（n-1）+2=2n+3．
故答案为4，5；2n+3．
解：（1）作P1H1⊥OB于H1，P1Q⊥AO于Q，P1E1⊥AB于E1，如图，∵⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．
∴P1H1=P1Q=P1E=1，OQ=OH1=3，BH1=BE，
∵∠OAB=90°，
∴四边形AQP1E为正方形，
∴AQ=AW=P1Q=1，
∴AO=OQ+AQ=3+1=4，
在Rt△ABO中，OB2=OA2+AB2，
∴（3+BH1）2=42+（1+BH1）2，解得BH1=2，
∴OB=OH1+BH1=3+2=5；
（2）作PnHn⊥OB于Hn，PnEn⊥CD于En，如图，
∵P1Pn=2（n-1），
∴H1Hn=2（n-1），
∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
∵⊙P1是△OAB的内切圆，⊙Pn与CD相切，
∴∠H1BP1=
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在△H1BP1和△HnDPn中
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∴△H1BP1≌△HnDPn（AAS），
∴BH1=DHn=2，
∴OD=OH1+H1Hn+DHn=3+2（n-1）+2=2n+3．
故答案为4，5；2n+3．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的切线性质和切线长定理进行几何证明；会运用勾股定理进行几何计算；常用三角形全等解决线段相等的问题．
练习册系列答案
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