Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+c经过点A（1，-1），直线y=x+2与y轴交于点B、与抛物线在第一象限相交于点C，如果且∠BCO=∠OBA，求此抛物线的表达式．

Answer 1

分析 由于点B是直线y=x+2与y轴的交点，可求得B点坐标，从而可求得OB的长，再根据△OBC∽△AOB得到OB²=OA×BC，可求得BC的长，从而求出点C坐标，即可求得抛物线解析式．

解答 解：
∵直线y=x+2与y轴交于点B，令x=0可得y=2，令y=0可得x=-2，
∴B（0，2），D（-2，0），
∴OB=OD=2，
∴∠OBD=45°，
∴∠OBC=135°，
∵A（1，1），
∴OA=$\sqrt{2}$，∠AOB=135°，
∴∠OBC=∠AOB，且∠BCO=∠OBA，
∴△OBC∽△AOB，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BC}{OB}$，即$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\frac{BC}{2}$，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∵点C在直线y=x+2上，
∴可设点C坐标为（m，m+2），
∵点C在第一象限，
∴m＞0
∴BC=$\sqrt{{m}^{2}+（m+2-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$m，
∴$\sqrt{2}$m=2$\sqrt{2}$，解得m=2，
∴C（2，4），
∵抛物线经过A、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+c=-1}\\{4a+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{3}}\\{c=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{5}{3}$x²-$\frac{8}{3}$．

点评 本题为二次函数综合应用，主要考查了确定抛物线解析式，对称轴的方法，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判定三角形相似．