Question

17．如图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，经测量PC=BC=50cm，CD=60cm，设AP=x cm，竖杆BA的最下端B到地面的距离BO=y cm．
（1）求AB的长；
（2）当∠PCB=90°时，求y的值；（参考数据：$\sqrt{2}≈$1.414，结果精确到0.1cm）
（3）当点P运动时，试求出y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出AB=PC+BC，求出答案；
（2）过点E作CE⊥PB于点E，得出△PCE∽△PDO，进而求出PO的长，即可得出BO的长；
（3）得出△PCE∽△PDO，则$\frac{PO}{PE}$=$\frac{PD}{PC}$，进而得出y与x的函数关系式．

解答 解：（1）∵当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，
∴由题意可得：AB=PC+BC=50+50=100（cm）；

（2）如图，过点E作CE⊥PB于点E，
由题意可得：PD=110cm，PC=50cm，
∵∠PCB=90°，PC=BC=50cm，
∴∠CPB=∠CBP=45°，∵PE=50cos45°=25$\sqrt{2}$（cm），
∵CE⊥PB，PO⊥DO，
∴△PCE∽△PDO，∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{PE}{PO}$，
$\frac{50}{110}$=$\frac{25\sqrt{2}}{PO}$，
解得：PO=55$\sqrt{2}$，
∵PB=PC÷cos45°=50$\sqrt{2}$，
∴y=BO=55$\sqrt{2}-$50$\sqrt{2}$≈7.1（cm），
答：y的值约为7.1cm；

（3）由（2）可知，在运动过程中始终有：△PCE∽△PDO，
故$\frac{PO}{PE}$=$\frac{PD}{PC}$，
∵OP=PB+0B=100-x+y，
则$\frac{100-x+y}{PE}$=$\frac{110}{50}$，
∵PC=BC，AP=x，BO=y，
∴PE=$\frac{100-x}{2}$，
整理可得：y=-0.1x+10．

点评 此题考查了解直角三角形、相似三角形等知识，通过简单的数学建模发展应用意识和能力．