Question

利用勾股定理讨论下下面的问题：（S₁，S₂分别表示直角三角形中直角边上的图形的面积，S₃表示斜边上的图形的面积）
（1）以直角三角形的三边为边分别向形外作等边三角形，则S₁+S₂与S₃是什么关系？
（2）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，则S₁+S₂与S₃是什么关系？
（3）做过上面两小题后，你有什么发现？

Answer 1

考点：勾股定理

专题：

分析：（1）先根据等边三角形的性质求出S₁，S₂，S₃的值，进而可得出结论；
（2）先根据圆的面积公式求出S₁，S₂，S₃的值，进而可得出结论；
（3）根据（1）、（2）中S₁+S₂与S₃的可得出结论．

解答： 解：（1）如图①，由等边三角形的性质可得：S₁=

3

4

AC²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AB²，
则S₁+S₂=

3

4

（AC²+BC²），
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃；

（2）如图②，由圆的面积计算公式知：S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
则S₁+S₂=

1

8

π（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃；

（3）由（1）（2）可知，以直角三角形的两直角边所作的等边三角形的面积和等于以斜边为边所作等边三角形的面积；以直角三角形的两直角边所作的半圆的面积和等于以斜边为边所作半圆的面积．

点评：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质，关键是熟悉各种图形的面积公式，结合勾股定理，运用等式的性质进行变形．