Question

8．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠CAB=90°，A（-2，0），B（0，4），点C在第二象限且tan∠ACB=2，将Rt△ABC沿平行于y轴的某条直线翻折，得Rt△A₁B₁C₁，若点B₁，C₁恰好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，则k的值等于$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 作CN⊥x轴于点N，易证△CAN∽△AOB，即可求出C的坐标，设平行于y轴的直线为x=c，用c表示出C₁和B₁，根据两点都在反比例函数图象上，进而求出c的值，即可求出求出k的值．

解答 解：作CN⊥x轴于点N，
∵A（-2，0）B（0，4）．
∴OB=4，AO=2，
易证△CAN∽△AOB，
∴$\frac{AN}{OB}$=$\frac{CN}{OA}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵tan∠ACB=2，tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AN}{4}$=$\frac{CN}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴AN=2，CN=1，NO=NA+AO=4，
又∵点C在第二象限，
∴C（-4，1）；
设平行于y轴的直线为x=c，
则C₁（4+2c，1），B₁（2c，4）
又点C₁和B₁在该比例函数图象上，
∴4+2c=8c，
解得c=$\frac{2}{3}$，
∴k=2×$\frac{2}{3}$×4=$\frac{16}{3}$，
故答案为$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点点坐标特征，解直角三角形以及轴对称的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及轴对称的性质，此题难度不是很大．