Question

20．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
（1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，试判断四边形ADCN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行得出∠DAM=∠NCM，根据ASA推出△AMD≌△CMN，得出AD=CN，推出四边形ADCN是平行四边形即可；
（2）根据∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC求出∠MCD=∠MDC，推出MD=MC，求出MD=MN=MA=MC，推出AC=DN，根据矩形的判定得出即可．

解答 证明：（1）∵CN∥AB，
∴∠DAM=∠NCM，
∵在△AMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NCM}\\{MA=MC}\\{∠DMA=∠NMC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；

（2）解：四边形ADCN是矩形，
理由如下：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由（1）知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．