Question

1．如图，在△ABC中，A₁、B₁、C₁分别是BC、CA、AB的中点，A₂、B₂、C₂分别是B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，…，A_n、B_n、C_n分别是B_n-1C_n-1、C_n-1A_n-1、A_n-1B_n-1的中点，假设△ABC的周长为a，则△A₁B₁C₁的周长为$\frac{1}{2}$a，△A₂B₂C₂的周长为$\frac{1}{4}$a，…，△A_nB_nC_n的周长为$\frac{1}{{2}^{n}}$a．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，C₁A₁=$\frac{1}{2}$AC，A₁B₁=$\frac{1}{2}$AB，得到△A₁B₁C₁∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．

解答 解：∵A₁、B₁、C₁分别是BC、CA、AB的中点，
∴B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，C₁A₁=$\frac{1}{2}$AC，A₁B₁=$\frac{1}{2}$AB，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，相似比为$\frac{1}{2}$，
∵△ABC的周长为a，
∴△A₁B₁C₁的周长为$\frac{1}{2}$a，
同理△A₂B₂C₂的周长为$\frac{1}{4}$a，
…，
△A_nB_nC_n的周长为$\frac{1}{{2}^{n}}$a，
故答案为：$\frac{1}{2}$a；$\frac{1}{4}$a；$\frac{1}{{2}^{n}}$a．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半、相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．