Question

直线与轴交于点，点在第一象限，且，.

（1）若点是点关于轴的对称点，求过三点的抛物线的表达式.

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点（点在第一象限），使得以点为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）若将点分别变换为点（且为常数），设过两点且以的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与轴的交点为，其顶点为，记的面积为，的面积为，求的值.

Answer 1

解：（1）如图所示，点，

过作轴于点，

则在中，，

∴，∴，则

设过三点的抛物线表达式为

，将点代入得，

∴所求抛物线的表达式是.………………3分

（2）设存在第一象限的点，使得以点为顶点的四边形是梯形，则，由和可求得直线的表达式为，

则直线的表达式为，

联立，解得（舍去）或，则，

此时，所以存在点使得四边形为梯形.8分

（3）依题意可设抛物线表达式为，则，，，设抛物线的对称轴与轴的交点为，则

∴：=1：12. ………………14分