Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据条件可设两点式，把C的坐标代入可求得解析式，可求得顶点坐标；
（2）由勾股定理可分别求得BC²、BD²、DC²，再根据勾股定理的逆定理可判定△BCD为直角三角形．

解答： 解：
（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴设抛物线为y=a（x+1）（x-3），
又过点C（0，-3），
∴-3=-3a，解得a=1，
∴y=x²-2x-3，
其对称轴为x=1，当x=1时，y=-4，
∴D点坐标为（1，-4）；
（2）是直角三角，理由如下：
由题意可知OB=3，OC=3，
∴BC²=18，
DC²=1²+1²=2，
BD²=4²+（3-1）²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴△BCD为直角三角形．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及勾股定理及逆定理的应用，掌握二次函数的三种表达式是解题的关键，即①一般式，②两点式，③顶点式，在解题时注意灵活选择．