Question

20．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞$\frac{1}{2}$AC）作弧，两弧分别交于M，N两点；
②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；
③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F．
（1）请在图中直线标出点F并连接CF；
（2）求证：四边形BCFD是平行四边形；
（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；
（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．

解答 解：（1）如图所示：


（2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，
∴D、E为线段AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，
∴EF=ED，
∴DF=BC，
∵DE∥BC，
∴四边形BCFD是平行四边形；

（3）当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形；
∵∠B=60°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴DB=CB，
∵四边形BCFD是平行四边形，
∴四边形BCFD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大．