Question

17．如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一个钉子．动点P、Q同时从点A出发，点P沿A-B-C方向以每秒2cm的速度运动，到C点停止，点Q沿A-D方向以每秒1cm的速度运动，到D点停止．PQ两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，当遇到钉子后，橡皮筋会自动弯折．如果x秒后橡皮筋扫过的面积为y cm²，那么y与x的函数关系图象可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥CD，根据正方形的性质可得OE=1cm，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半求出橡皮筋经过点O的时间为$\frac{4}{3}$，再分①0≤t≤1时，扫过的面积y=S_△APQ；②1＜t≤$\frac{4}{3}$时，表示出BP，再根据扫过的面积y=S_梯形ABPQ；③$\frac{4}{3}$＜t≤2时，扫过的面积y=S_{正方形ABCD}-S_梯形POEC-S_梯形OQDE列式整理即可得解．

解答 解：如图，过点O作OE⊥CD，
∵正方形的边长为2cm，点O是对称中心，
∴OE=$\frac{1}{2}$×2=1cm，
橡皮筋经过点O时，$\frac{2t-2+t}{2}$=1，
解得t=$\frac{4}{3}$，
①0≤t≤1时，扫过的面积y=S_△APQ=$\frac{1}{2}$•t•2t=t²
②1＜t≤$\frac{4}{3}$时，BP=2t-2，
扫过的面积y=S_梯形ABPQ=$\frac{1}{2}$（2t-2+t）×2=3t-2；
③$\frac{4}{3}$＜t≤2时，扫过的面积y=S_{正方形ABCD}-S_梯形POEC-S_梯形OQDE，
=2²-$\frac{1}{2}$（4-2t+1）×1-$\frac{1}{2}$（2-t+1）×1，
=4-$\frac{5}{2}$+t-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$t，
=$\frac{3}{2}$t；
纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．

点评 本题考查了动点问题函数图象，利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式判断函数图象，注意自变量的取值范围．