Question

如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45⁰，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转（0⁰<<90⁰）后，记为△D₁CE₁（图8），若M₁是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，M₁N₁=OM₁是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵ AB是⊙O的直径

　　　　　　 ∴ ∠ACB=90°

　　　　　 ∵ ∠DCE=90°

　　　　　 ∴∠ACB＋∠DCE=180°

　　　　　 ∴ B、C、E三点共线。　

(2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F

　　　 ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°

　　　 ∴ BC=AC，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC

　　　 ∴ △BCD≌△ACE

　　　 ∴ BD=AE，∠DBC=∠CAE

　　　 ∴∠DBC＋∠AEC=∠CAE＋∠AEC=90°

　　　 ∴ BF⊥AE

　　

∵ AO=OB，AN=ND

　　　 ∴ ON=BD，ON∥BD

∵ AO=OB，EM=MB

　　 ∴ OM=AE，OM∥AE

　　　 ∴ OM=ON，OM⊥ON

　　　 ∴ ∠OMN=45°，又 cos∠OMN=

　　　 ∴

(3) 成立，证明同（2）。