题目内容
已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B（4，0），C（0，12）两点．（1）求k，b的值；
（2）若P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？这样的P点有几个？
考点：一次函数综合题
专题：计算题
分析：（1）将B与C坐标代入直线解析式求出k与b的值即可；
（2）存在三个这样的点P，使△POB为等腰三角形，分三种情况考虑：当P1O=PB时，当BP2=BO=4时，当OP3=OB=4时，分别求出P坐标即可．
（2）存在三个这样的点P，使△POB为等腰三角形，分三种情况考虑：当P1O=PB时，当BP2=BO=4时，当OP3=OB=4时，分别求出P坐标即可．
解答：
解：（1）将B（4，0），C（0，12）代入直线解析式得：
，
解得：k=-3，b=12；
（2）由（1）得到直线解析式为y=-3x+12，
当P1O=PB时，P1横坐标为2，将x=2代入直线解析式得：y=6，此时P1（2，6）；
当BP2=BO=4时，作P2Q⊥x轴，可得△BP2Q∽△BCO，
∴
=
，即
=
，
∴P2Q=
，即P2的纵坐标为
，
将y=
代入直线解析式得：x=4-
，
此时P2（4-
，
）；
当OP3=OB=4时，设P3（x，-3x+12），
根据勾股定理得：x2+（-3x+12）2=42，
解得：x=
或x=4（不合题意，舍去），
此时P3坐标为（
，
），
综上，存在三个这样的点P，使△POB为等腰三角形，坐标分别为（2，6）或（4-
，
）或（
，
）．
解：（1）将B（4，0），C（0，12）代入直线解析式得：
|
解得：k=-3，b=12；
（2）由（1）得到直线解析式为y=-3x+12，
当P1O=PB时，P1横坐标为2，将x=2代入直线解析式得：y=6，此时P1（2，6）；
当BP2=BO=4时，作P2Q⊥x轴，可得△BP2Q∽△BCO，
∴
| P2Q |
| CO |
| BP2 |
| BC |
| P2Q |
| 12 |
| 4 | ||
4
|
∴P2Q=
6
| ||
| 5 |
6
| ||
| 5 |
将y=
6
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
此时P2（4-
2
| ||
| 5 |
6
| ||
| 5 |
当OP3=OB=4时，设P3（x，-3x+12），
根据勾股定理得：x2+（-3x+12）2=42，
解得：x=
| 16 |
| 5 |
此时P3坐标为（
| 16 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
综上，存在三个这样的点P，使△POB为等腰三角形，坐标分别为（2，6）或（4-
2
| ||
| 5 |
6
| ||
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
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