Question

19．四边形ABCD内部存在一点P，使得ABPD为平行四边形．求证：若∠CBP=∠CDP，则∠ACD=∠BCP，反之亦然．

Answer 1

分析 以PD，PC为一组邻边作平行四边形PCED，连接AE，得到四边形ABCE是平行四边形，证得求出AE=BC，证得△ADE≌△BPC，求得∠DAE=∠CBP，∠AED=∠BCP，当∠CBP=∠CDP时，推出A，D，E，C四点共圆，得到∠ACD=∠AED=∠BCP，当∠ACD=∠BCP时，∠ACD=∠BCP=∠AED，推出A，D，E，C四点共圆，得到∠DAE=∠DCE，由于PD∥CE，得到∠DCE=∠CDP，于是得到结论．

解答 证明：以PD，PC为一组邻边作平行四边形PCED，
连接AE，
∴CE∥PD，CE=PD，
∵PD∥AB，PD=AB，
∴CE∥AB，CE=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，
在△ADE与△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{DE=PC}\\{AD=BP}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BPC（SSS），
∴∠DAE=∠CBP，∠AED=∠BCP，
当∠CBP=∠CDP时，
∵PD∥CE，
∴∠DCE=∠CDP=∠CBP=∠DAE，
∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ACD=∠AED=∠BCP，
当∠ACD=∠BCP时，∠ACD=∠BCP=∠AED，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠DAE=∠DCE，
∵PD∥CE，
∴∠DCE=∠CDP，
∴∠CDP=∠DAE=∠CBP．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，正确的作出辅助线是解题的关键．