Question

已知AB是⊙O的直径，在OA上取一点M，作MC、MD与⊙O分别交于C、D两点，且∠BMC=∠BMD．求证：MC=MD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：作OE⊥CM，OF⊥MD，OE=OF，即可证明RT△OME≌RT△OMF，可得ME=MF，即可证明RT△OCE≌RT△ODF，可得CE=DF，即可解题．

解答：证明：作OE⊥CM，OF⊥MD，

∵∠BMC=∠BMD，
∴OE=OF，
∵在RT△OME和RT△OMF中，

OE=OF OM=OM

，
∴RT△OME≌RT△OMF，（HL）
∴ME=MF，
∵在RT△OCE和RT△ODF中，

OE=OF OC=OD

，
∴RT△OCE≌RT△ODF，（HL）
∴CE=DF，
∴MC=MD．

点评：本题考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△OME≌RT△OMF和RT△OCE≌RT△ODF是解题的关键．