Question

12．如图①，△ABC、△BDE是两个大小不等的正三角形，且点E在BC上，连接AE、CD．
（1）线段AE和CD有怎样的大小关系？请证明你的结论；
（2）将图①中的△BDE绕点B旋转一定的角度，得到图②，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，证明△ABE≌△CBD，即可解决问题；
（2）根据等式的性质，可得∠ABE=∠CBD，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

解答 解：（1）AE=CD；理由如下：
∵△ABC和△BDE等边三角形
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；
在△ABE与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD．
（2）AE=CD；理由如下：
∵△ABC和△BDE等边三角形
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∠ABE=∠ABC-∠EBC，∠CBD=∠EBD-∠EBC，
∴∠ABE=∠CBD；
在△ABE与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是观察图形，准确找出图形中隐含的等量关系、全等关系．