Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）试证明：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求线段BD的长度．

Answer 1

分析 （1）由条件证明△ACE≌△CBD即可证得AE=CD；
（2）由中线可求得CE的长，再由全等三角形的性质可知CE=BD，可求得BD．

解答 （1）证明：
∵CF⊥AE，BD⊥BC，
∴∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠CEA+∠BCD=∠BCD+∠D=90°，
∴∠CEA=∠D，
在△ACE和△CBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠CDB}\\{∠ACE=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE=CD；

（2）解：
∵AC=BC=12cm，AE是BC边的中线，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=6cm，
∵△ACE≌△CBD，
∴BD=CE=6cm．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．