题目内容
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．
（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，
①当BD＜1时求BD的长．
②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．
（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，
①当BD＜1时求BD的长．
②当BD＞1时，BD的长度是否改变，若改变，请直接写出BD的长度．
考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理
专题：
分析：（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，进而求得，∠BAD=∠CAF，根据SAS证得△ABD≌△ACF，根据全等三角形的性质得出CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，从而求得∠FCG=90°；
（2）先证得△AFG≌△ADG，得出FG=DG，根据等腰直角三角形的性质得出CG=CF，设 CF=x，得CG=CF=BD=x，FG=DG=2-2x，根据勾股定理即可求得x的值即可求得BD的长；
（2）先证得△AFG≌△ADG，得出FG=DG，根据等腰直角三角形的性质得出CG=CF，设 CF=x，得CG=CF=BD=x，FG=DG=2-2x，根据勾股定理即可求得x的值即可求得BD的长；
解答：
解：（1）猜想：CF=BD，CF⊥BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD与△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF （SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD；
（2）∵AE是正方形ADEF的对角线，
∴∠FAE=∠DAE=45°
在△AFG与△ADG中，
，
∴△AFG≌△ADG（SAS），
∴FG=DG，
由（1）知，∠GCF=90°，若Rt△FCG是等腰三角形，则CG=CF，
设CF=x，得CG=CF=BD=x
①当BD＜1时，如图1，FG=DG=2-2x
在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2
∴（2-2x）2=2x2，
解得：x1=2+
＞1（舍去），x2=2-
∴BD=2-
，
②当BD＞1时，如图2
∵CG=CF=BD，∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2，
∴22=2x2，
解得x1=-
（舍去），x2=
．
解：（1）猜想：CF=BD，CF⊥BD，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD与△ACF中，
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∴△ABD≌△ACF （SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°，
∴CF⊥BD；
（2）∵AE是正方形ADEF的对角线，
∴∠FAE=∠DAE=45°
在△AFG与△ADG中，
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∴△AFG≌△ADG（SAS），
∴FG=DG，
由（1）知，∠GCF=90°，若Rt△FCG是等腰三角形，则CG=CF，
设CF=x，得CG=CF=BD=x
①当BD＜1时，如图1，FG=DG=2-2x
在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2
∴（2-2x）2=2x2，
解得：x1=2+
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∴BD=2-
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②当BD＞1时，如图2
∵CG=CF=BD，∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，FG2=CF2+CG2，
∴22=2x2，
解得x1=-
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点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，注意分类思想的运用．
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