题目内容
（2007•东城区二模）图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2））；
探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图（1）中的△C′D′E′固定，将△ABC 移动，使顶点C落在C′D′的中点，边AC交E′D′于M，边BC交C′E′于N．若△C′D′E′的边长为a，∠ACD′=α （30°＜α＜90°）（图（3））；
探究：在图（3）中线段C′N•D′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C′N•D′M的值；如果有变化，请说明理由．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2））；
探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图（1）中的△C′D′E′固定，将△ABC 移动，使顶点C落在C′D′的中点，边AC交E′D′于M，边BC交C′E′于N．若△C′D′E′的边长为a，∠ACD′=α （30°＜α＜90°）（图（3））；
探究：在图（3）中线段C′N•D′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C′N•D′M的值；如果有变化，请说明理由．
分析：（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，求出∠DCA=∠ECB，根据SAS证出△DCA≌△ECB即可；
（2）根据等边三角形性质和三角形的内角和定理求出∠C′=∠D′，∠CMD′=∠C′CN，推出△CMD′∽△NCC′，得出比例式，代入求出即可．
（2）根据等边三角形性质和三角形的内角和定理求出∠C′=∠D′，∠CMD′=∠C′CN，推出△CMD′∽△NCC′，得出比例式，代入求出即可．
解答：（1）BE=AD，
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠DCA=∠ECB，
∵在△DCA和△ECB中
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴BE=AD．
（2）解：线段C′N•D′M的值不随α的变化而变化，
∵△C′D′E′的边长为a，C是C′D′的中点，
∴CD′=CC′=
，
∵△C′D′E′和△ACB是等边三角形，
∴∠D′=∠ACB=∠C′=60°，
∴∠D′CM+∠C′CN=180°-60°=120°，∠D′CM+∠CMD′=180°-60°=120°，
∴∠CMD′=∠C′CN，
∵∠C′=∠D′=60°，
∴△CMD′∽△NCC′，
∴
=
，
∴C′N•D′M=CD′•CC′=
×
=
，
即线段C′N•D′M的值不随α的变化而变化，永远是
．
证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠DCA=∠ECB，
∵在△DCA和△ECB中
|
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴BE=AD．
（2）解：线段C′N•D′M的值不随α的变化而变化，
∵△C′D′E′的边长为a，C是C′D′的中点，
∴CD′=CC′=
| a |
| 2 |
∵△C′D′E′和△ACB是等边三角形，
∴∠D′=∠ACB=∠C′=60°，
∴∠D′CM+∠C′CN=180°-60°=120°，∠D′CM+∠CMD′=180°-60°=120°，
∴∠CMD′=∠C′CN，
∵∠C′=∠D′=60°，
∴△CMD′∽△NCC′，
∴
| C′N |
| CD′ |
| CC′ |
| D′M |
∴C′N•D′M=CD′•CC′=
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a2 |
| 4 |
即线段C′N•D′M的值不随α的变化而变化，永远是
| a2 |
| 4 |
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大．
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