Question

4．如图，已知抛物线y=-x²+（m-1）x+m（其中0＜m＜1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，设P为对称轴上的点，连接PA、PC
（1）∠ABC的度数为45°，点A的坐标为（-1，0）
（2）若PA=PC，求P点坐标（用含m的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，PC交x轴于点D，将△ADC以直线AC为轴翻折，若点D的对称点D′正好落在直线l上，其此时抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0求出A、B、C三点坐标即可解决问题．
（2）由题意得，抛物线的对称轴为：x=$\frac{-1+m}{2}$，设点P坐标为（$\frac{-1+m}{2}$，n），根据PA=PC，列出方程求出n即可．
（3）如图，设对称轴与AC交于点G交x轴于F，作PE⊥y轴于E．由Rt△AFP≌△Rt△CEP，推出∠APF=∠CPE，推出∠APC=∠EPF=90°，推出∠PAC=∠PCA=∠ACD′=45°，推出CD′∥PA，得到$\frac{CD′}{PA}$=$\frac{CG}{GA}$，由FG∥CO，推出$\frac{CG}{AG}$=$\frac{OF}{FA}$，由CD=CD′，推出$\frac{CD}{PA}$=$\frac{OF}{AF}$，设直线PC的解析式为y=kx+m，把P（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m-1}{2}$）代入得k=$\frac{m+1}{1-m}$，得到y=$\frac{m+1}{1-m}$x+m，令y=0，得x=$\frac{m（m-1）}{m+1}$，推出D[$\frac{m（m-1）}{m+1}$，0]，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令x=0，则y=m，C点坐标为：（0，m），
令y=0，则x²+（1-m）x-m=0，
解得：x₁=-1，x₂=m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
故答案为45°，（-1，0）．

（2）由题意得，抛物线的对称轴为：x=$\frac{-1+m}{2}$，
设点P坐标为：（$\frac{-1+m}{2}$，n），
∵PA=PC，
∴（$\frac{-1+m}{2}$+1）²+n²=（$\frac{-1+m}{2}$）²+（m-n）²，
解得n=$\frac{-1+m}{2}$．
∴点P坐标为（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m-1}{2}$）．

（3）如图，设对称轴与AC交于点G交x轴于F，作PE⊥y轴于E．

∵PF=PE=$\frac{m-1}{2}$，
在Rt△AFP和Rt△CEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{PF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFP≌△Rt△CEP，
∴∠APF=∠CPE，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∴∠PAC=∠PCA=∠ACD′=45°，
∴CD′∥PA，
∴$\frac{CD′}{PA}$=$\frac{CG}{GA}$，
∵FG∥CO，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{OF}{FA}$，∵CD=CD′，
∴$\frac{CD}{PA}$=$\frac{OF}{AF}$，
设直线PC的解析式为y=kx+m，把P（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m-1}{2}$）代入得k=$\frac{m+1}{1-m}$，
∴y=$\frac{m+1}{1-m}$x+m，令y=0，得x=$\frac{m（m-1）}{m+1}$，
∴D[$\frac{m（m-1）}{m+1}$，0]，
∴$\frac{\sqrt{{m}^{2}+[\frac{m（m-1）}{m+1}]^{2}}}{\sqrt{（\frac{m-1}{2}+1）^{2}+（\frac{m-1}{2}）^{2}}}$=$\frac{\frac{1-m}{2}}{\frac{m-1}{2}+1}$，
∴$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{（m+1）^{2}}}$=$\frac{1-m}{m+1}$，
∵0＜m＜1，
∴$\frac{2m}{m+1}$=$\frac{1-m}{m+1}$，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、两点间距离公式．等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．