Question

16．矩形ABCD四个内角平分线组成四边形MFNE，求证：四边形MFNE是正方形．

Answer 1

分析 首先根据已知条件证明四边形EMFN是矩形，再根据正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形即证明FM=EM即可

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四个内角均为90°，
∵AE，BE，CF，DF分别是四个内角的平分线，
∴∠NBC=∠NCB=45°，
∴△NBC为等腰直角三角形，
∴∠N=90°，
同理∠M=∠NEM=∠NFM=90°，
∴四边形MFNE为矩形，
∵AD=BC，∠M=∠N=90°，∠DAM=∠NBC=45°，
∴△DAM≌△CBN（AAS）
∴AM=BN，
∵AE=BE，
∴AM-AE=BN-BF，即FM=EM，
∴四边形MFNE是正方形．

点评 本题考查了矩形的性质和判定、角平分线的性质等腰直角三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是对特殊的几何图形的判定和性质要熟练掌握．