Question

15．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若AB=6，求△DEB的周长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AC=AE，CD=DE，由于AC=BC，等量代换得到BC=AE，于是得到△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6．

解答 （1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；

（2）解：∵△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形周长的计算，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．