Question

4．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则OD的长为$\frac{4\sqrt{13}}{7}$．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得BC=8；
又∵D是BC边的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又∵S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$BD•OF=$\frac{1}{2}$CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6，
解得OE=$\frac{12}{7}$，
∴⊙O的半径是$\frac{12}{7}$．
由勾股定理得AD=2$\sqrt{13}$，
∵△DOH∽△DAC，
∴$\frac{OD}{AD}=\frac{OH}{AC}$，
∴OD=$\frac{2\sqrt{13}×\frac{12}{7}}{6}$=$\frac{4\sqrt{13}}{7}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{13}}{7}$．

点评 本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．