Question

16．如图，△ABC是等边三角形，D为AC延长线上一点，E是BC延长线上一点，CE=AD，求证：DB=DE．

Answer 1

分析 在CE上截取CF=CD，然后判断出△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得CD=DF，∠DCF=∠DFC，再根据等角的补角相等可得∠BCD=∠EFD，然后求出EF=BC，再利用“边角边”证明△BCD和△EFD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，在CE上截取CF=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
又∠DCF=∠ACB=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=DF，∠DCF=∠DFC=60°，
∴∠BCD=∠EFD，
∵CE=AD，CD=CF，
∴CE-CF=AD-CD，
即EF=AC，
∴EF=BC，
在△BCD和△EFD中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=BC}\\{∠BCD=∠EFD}\\{CD=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△EFD（SAS），
∴DB=DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出以BD、DE为对应边的全等三角形．