Question

如图，菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE，且∠ABE：∠CBE=7：3，BE交对角线AC于F，交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC=15°．
（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF=CM+2FB．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=2∠DAC，然后求出∠ABC，再根据比例求出∠ABE，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠CBM=∠AKB=90°，取CM的中点G，连接BG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG=CG=

1

2

CM，再根据等边对等角求出∠CBG=∠BCG=15°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BGM=30°，再求出∠GBF=30°，从而得到∠GBF=∠BMG，根据等角对等边可得FB=FG，然后根据CF=CG+FG代入整理即可得证．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=2∠DAC=2×5°=30°，
∠ABC=180°-∠DAB=180°-30°=150°，
∵∠ABE：∠CBE=7：3，
∴∠ABE=150°×

7

3+7

=105°，
∴∠DEB=180°-∠ABE=180°-105°=75°；

（2）证明：∵BK⊥AD，菱形的对边AD∥BC，
∴∠CBM=∠AKB=90°，∠BCA=∠DAC=15°，
如图，取CM的中点G，连接BG，
则BG=CG=

1

2

CM，
∴∠CBG=∠BCG=15°，
∵∠EBG=∠EBC-∠CBG=（150°-105°）-15°=30°，
∠BGM=∠CBG+∠BCA=15°+5°=30°，
∴∠GBF=∠BMG，
∴FB=FG，
∵CF=CG+FG，
∴CF=

1

2

CM+FB，
故2CF=CM+2FB．

点评：本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，难点在于（2）根据2倍关系考虑到

1

2

，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作出辅助线构造出两个等腰三角形，这也是解决本题的关键．