题目内容
如图，在△ABC中，D点在BC边上，DE∥A C，DF∥AB．（1）求证：
| DE |
| AC |
| DF |
| AB |
（2）若AB=2AC，则当点D在BC边的什么位置时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质,菱形的判定
专题：
分析：（1）由DE∥A C，DF∥AB就可以得出△BDE∽△BCA，四边形DFAE是平行四边形，就有
=
，DF=AE，进而就可以得出结论；
（2）由菱形的性质可以得出DE=DF，设DE=DF=x，AC=a，AB=2AC=2a，由
+
=1建立关于x的方程求出其解即可．
| DE |
| AC |
| BE |
| AB |
（2）由菱形的性质可以得出DE=DF，设DE=DF=x，AC=a，AB=2AC=2a，由
| DE |
| AC |
| DF |
| AB |
解答：解：（1）∵DE∥A C，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，四边形DFAE是平行四边形，
∴
=
，DF=AE．
∴
+
=
+
=
+
=
=1；
（2）∵四边形AEDF是菱形，
∴DE=DF．
设DE=DF=x，AC=a，则AB=2AC=2a．
∵
+
=1，
∴
+
=1，
∴x=
a．
∵DE∥A C，
∴
=
，
∴
=
，
∴BD=
BC．
∴点D在BC边的
的位置时，四边形AEDF是菱形．
∴△BDE∽△BCA，四边形DFAE是平行四边形，
∴
| DE |
| AC |
| BE |
| AB |
∴
| DE |
| AC |
| DF |
| AB |
| BE |
| AB |
| DF |
| AB |
| BE |
| AB |
| AE |
| AB |
| AB |
| AB |
（2）∵四边形AEDF是菱形，
∴DE=DF．
设DE=DF=x，AC=a，则AB=2AC=2a．
∵
| DE |
| AC |
| DF |
| AB |
∴
| x |
| a |
| x |
| 2a |
∴x=
| 2 |
| 3 |
∵DE∥A C，
∴
| DE |
| AC |
| BD |
| BC |
∴
| BD |
| BC |
| 2 |
| 3 |
∴BD=
| 2 |
| 3 |
∴点D在BC边的
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了平行线的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，菱形的性质的运用，解答时运用相似三角形的性质求解是关键．
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| A、对角线平分 |
| B、对角线相等 |
| C、对角线垂直 |
| D、对角线平分对角 |