Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]
=（1+x）²[1+x]
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是______法，共应用了______次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，则需要应用上述方法______次，分解因式后的结果是______．
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数），必须有简要的过程．

Answer 1

（1）根据已知可以直接得出答案：
提取公因式，2；

（2）2010，（1+x）²⁰¹¹；

（3）原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）^（n-1）]，
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n-2）]，
=（1+x）ⁿ⁺¹．