如图.已知抛物线y=ax2+bx-3与直线y=x交于A.B两点.且A.B两点的横坐标分别为-1和3．(1)求此抛物线的解析式和过B点的反比例函数解析式,(2)在第四象限的抛物线上有一动点M.连接OM.BM.求△BOM的最大面积.并求出此时M点的坐标,中△BOM是最大面积的情况下.在过B点的反比例函数图象上.是否存在一点P.使得△BOP的面积与△BOM的面积相等?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与直线y=x交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为-1和3．
（1）求此抛物线的解析式和过B点的反比例函数解析式；
（2）在第四象限的抛物线上有一动点M，连接OM，BM，求△BOM的最大面积，并求出此时M点的坐标；
（3）在（2）中△BOM是最大面积的情况下，在过B点的反比例函数图象上，是否存在一点P，使得△BOP的面积与△BOM的面积相等？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据题意求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）设M（m，m²-m-3），则H（m，m），作MH∥y轴，交AB于H．根据S_△MOB=S_△MHO+S_△MHB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）情形①如图过M作AB的平行线交抛物线于P₁、P₂则△P₁OB和△P₂OB与△MOB面积相等．情形②设M关于原点的对称点M′（-1，3），过M′平行AB的直线的解析式为y=x+4，该直线与抛物线交于P₃，P₄，则△P₃OB和△P₄OB与△MOB面积相等．利用方程组分别求出P的坐标即可．

解答解：（1）由题意可知A（-1，-1），B（3，3），
把A（-1，-1），B（3，3）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=-1}\\{9a+3b-3=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-3．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，把B（3，3）代入得k=9，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{9}{x}$．

（2）设M（m，m²-m-3），则H（m，m），作MH∥y轴，交AB于H．
∵S_△MOB=S_△MHO+S_△MHB，
∴S_△MOB=$\frac{1}{2}$•（m-m²+m+3）•3=-$\frac{3}{2}$（m-1）²+2，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=1时，△MOB的面积最大，面积最大值为2．
此时M（1，-3）．

（3）如图过M作AB的平行线交抛物线于P₁、P₂则△P₁OB和△P₂OB与△MOB面积相等．
∵直线AB的解析式为y=x，M（1，-3），
∴直线P₁P₂的解析式为y=x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=\frac{9}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{13}}\\{y=\sqrt{13}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{13}}\\{y=-6-\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
∴P₁（2+$\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$-2），P₂（2-$\sqrt{13}$，-6-$\sqrt{13}$）．
设M关于原点的对称点M′（-1，3），
过M′平行AB的直线的解析式为y=x+4，该直线与抛物线交于P₃，P₄，则△P₃OB和△P₄OB与△MOB面积相等．

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=\frac{9}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{13}}\\{y=2+\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{13}}\\{y=2-\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
∴P₃（-2+$\sqrt{13}$，2+$\sqrt{13}$），P₄（-2-$\sqrt{13}$，2-$\sqrt{13}$）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（2+$\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$-2）或（2-$\sqrt{13}$，-6-$\sqrt{13}$）或（-2+$\sqrt{13}$，2+$\sqrt{13}$）或（-2-$\sqrt{13}$，2-$\sqrt{13}$）．