Question

4．如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED=45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE=67.5°时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE=90°时，四边形BFDP是正方形．

Answer 1

分析 （1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．

解答 （1）证明：连接OD，如右图所示，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF=90°，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∴∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，如右上图所示，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PEG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PEG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠GAE=22.5°+45°=67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故答案为：90°．

点评 本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．