Question

19．如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠ADC＞90°）沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如图2所示的△DB′C，连接AC，BB′，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB′；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④BB′=$\sqrt{3}$AB．其中正确结论的序号是①②③．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 首先证明四边形ABB′C是矩形，再根据条件一一判断即可．

解答 解：如图2中，过点D作DE⊥B′B于点E，
由旋转的性质，得DB′=DB，
∴∠BDE=∠B′DE=$\frac{1}{2}$α=∠DAB，∠DEB=90°，
∵BA=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠BDE=∠ABD，
∴DE∥AB．
同理，DE∥CB′，
∴AB∥CB′，
又∵AB=CB′，
∴四边形ABB′C是平行四边形，
又∵DE∥AB，∠DEB=90°，
∴∠ABB′=180°-90°=90°，
∴四边形ABB′C是矩形，
∴AC=BB′；AC⊥AB；故①②正确；
∵AD=CD，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠CDA=90°；故③正确，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$AB，
∵BB′=AC，
∴BB′=$\sqrt{2}$AB，故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为①②③．

点评 本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．