Question

19．已知α、β是一元二次方程2x²-3x-1=0的两个实数根，求下列代数式的值．
（1）$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$；
（2）α²+β²；
（3）（α-2）（β-2）

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理可得α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，将其代入到$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$即可；
（2）将α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$代入到α²+β²=（α+β）²-2αβ即可；
（3）将α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$代入到（α-2）（β-2）=αβ-2（α+β）+4计算可得．

解答 解：（1）∵α、β是一元二次方程2x²-3x-1=0的两个实数根，
∴α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=$\frac{α+β}{αβ}$=$\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-3；

（2）∵α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=$\frac{9}{4}$+1=$\frac{13}{4}$；

（3）∵α+β=$\frac{3}{2}$，αβ=-$\frac{1}{2}$，
∴（α-2）（β-2）=αβ-2α-2β+4
=αβ-2（α+β）+4
=-$\frac{1}{2}$-2×$\frac{3}{2}$+4
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是关键．