Question

17．如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C．
（1）若m=2，求直线AB的解析式；
（2）若DC=5，求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A点的坐标求得反比例函数的解析式，进而求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（3）存在，设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积-三角形ADE面积-三角形BCE面积，求出即可．

解答 解：（1）∵m=2，
∴A（2，6），
∵点A（2，6）在反比例函数图象上，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
∴1=$\frac{12}{n}$，解得n=12，
∴B（12，1），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{12k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=7}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+7；
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{6m=n}\\{m+5=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，将A（1，6）代入得：k=6，
∴反比例解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（3）存在，
设E（x，0），则DE=x-1，CE=6-x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S_△ABE=S_{四边形ABCD}-S_△ADE-S_△BCE=（BC+AD）•DC-DE•AD-CE•BC=×（1+6）×5-（x-1）×6-（6-x）×1=$\frac{35}{2}$-x=5，解得：x=5，
∴E（5，0）．

点评 此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．