Question

如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点D，E是BD的中点，延长AE与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BE=3，BF=4，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）利用直角三角形斜边中线的性质和等边对等角得到∠EAB=∠EBA，结合⊙O的切线得出OA⊥AF，从而得出AF是⊙O的切线；
（2）先根据勾股定理求得EF的长，再根据切线的性质得出EB=EA=3，即可求得AF的长，然后根据切割线定理求得FC，进而得出BC的长，根据E是BD的中点，得出BD的长，最后根据勾股定理即可求得CD的长．

解答：解：（1）连接AB，OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵DB是⊙O的切线，
∴DB⊥BC，
∴∠DBO=90°，
在RT△ABD中，E是斜边BD的中线，
∴AE=DE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EAB+∠OAB=∠EBA+∠OBA
∴∠EAO=∠DBO=90°，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵在RT△BEF中，BE=3，BF=4，
∴EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5，
∵FA、DB是⊙O的切线，
∴EA=EB=3，
∴AF=EF+EA=5+3=8，
∵AF²=FB•FC，
∴FC=

AF2

FB

=

82

4

=16，
∴BC=FC-FB=16-4=12，
∵E是BD的中点，
∴BD=2BE=6，
在RT△DBC中，CD=

DB2+BC2

=

62+122

=6

5

．

点评：本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用等，属于中档题．