Question

如图，已知点P为反比例函数y=

6

x

（x＞0）图象上一点，⊙P交x轴于点O，B，连接OP并延长交⊙P于点A．连接AB交反比例函数于点Q，当AP=AQ时，以PQ为对称轴将△APQ翻折得到△CPQ，则△CPQ与△AOB重叠部分PEFQ的面积是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,三角形中位线定理,菱形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：易证四边形APCQ是菱形，则有PC∥AQ，PA∥CQ．根据圆周角定理可得∠ABO=90°，根据平行线的性质可得∠PEO=90°，设点P的横坐标为a，可得OE=a，PE=

6

a

，根据垂径定理可得OE=BE=a，根据三角形中位线定理可得AB=2PE=

12

a

，再根据点Q在反比例函数图象上可得BQ=

3

a

，从而可求出AQ（即PC）长，由此可求出EC长，再根据△CEF∽△PEO可求出EF的长，然后只需分别求出△CEF和△CPQ的面积，就可解决问题．

解答：解：∵△APQ与△CPQ关于PQ对称，
∴PC=PA，QC=QA．
又∵AP=AQ，
∴PC=PA=QC=QA，
∴四边形APCQ是菱形，
∴PC∥AQ，PA∥CQ．
∵OA是⊙P的直径，
∴∠ABO=90°．
∵PC∥AQ，
∴∠PEO=∠ABO=90°．
设点P的横坐标为a，
∵点P为反比例函数y=

6

x

（x＞0）图象上一点，
∴y_P=

6

a

（a＞0），
∴OE=a，PE=

6

a

．
根据垂径定理可得OE=BE=a．
又∵OP=AP，
∴AB=2PE=

12

a

．
∵点Q在反比例函数y=

6

x

（x＞0）图象上，x_Q=2a，
∴y_Q=

6

2a

=

3

a

，
∴QB=

3

a

，
∴PC=AQ=AB-QB=

12

a

-

3

a

=

9

a

，
∴EC=PC-PE=

9

a

-

6

a

=

3

a

，
∴EC=

1

2

PE．
∵OP∥CQ，
∴△CEF∽△PEO，
∴

EF

EO

=

EC

EP

，
∴

EF

a

=

1

2

，
∴EF=

a

2

，
∴S_△CEF=

1

2

CE•EF=

1

2

×

3

a

×

a

2

=

3

4

；
∵S_△CPQ=

1

2

CP•BE=

1

2

×

9

a

×a=

9

2

，
∴S_{四边形PEFQ}=S_△CPQ-S_△CEF=

9

2

-

3

4

=

15

4

．
故答案为：

15

4

．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质、菱形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，有一定的综合性，解决本题的关键是设点P的横坐标为a，将线段BE、PC、EC、EF分别用a的代数式表示．然后用割补法求出四边形PEFQ的面积．