Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BF=AE．
（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长．
（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=

 

；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=

 

．（用n的代数式表示）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再根据同角的余角相等求出∠EAB=∠FBC，然后利用“角边角”证明△ABE和△BCF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）连接AE，过点N作NH⊥AD于H，根据翻折的性质可得AE⊥NM，然后求出∠DAE=∠MNH，再利用“角边角”证明△ADE和△NHM全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=MN，然后利用勾股定理列式求出AE，从而得解；
（3）过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，利用相似三角形对应边成比例求解即可．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，

∠EAB=∠FBC AB=BC ∠ABC=∠C=90°

，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：如图2，连接AE，过点N作NH⊥AD于H，
由折叠的性质得，AE⊥NM，
∴∠DAE+∠AMN=90°，
∠MNH+∠AMN=90°，
∴∠DAE=∠MNH，
在△ADE和△NHM中，

∠DAE=∠MNH AD=NH ∠MHN=∠D=90°

，
∴△ADE≌△NHM（ASA），
∴AE=MN，
∵DE=5，
∴由勾股定理得，AE=

122+52

=13，
∴MN=13；

（3）解：如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
∵∠FOH=90°，
∴∠MFE=∠NAH，
又∵∠EMF=∠HNG=90°，
∴△EFM∽△HNG，
∴

GH

EF

=

GN

FM

，
图3，GN=2FM，
∴GH=2EF=2×4=8，
图4，GN=nFM，
∴GH=nEF=4n．
故答案为：8，4n．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变化的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点，（3）难点在于作辅助线构造成相似三角形．