Question

12．如图1，若抛物线L₁的顶点A在抛物线L₂上，抛物线L₂的顶点B也在抛物线L₁上（点A与点B不重合），我们把这样的两抛物线L₁、L₂互称为“友好”抛物线．
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有D条．
A.1         B.2       C.3       D．无数
（2）如图2，已知抛物线L₃：y=2x²-8x+4与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L₃的“友好”抛物线L₄的表达式；
（3）若抛物线y=a₁（x-m）²+n的“友好”抛物线的解析式为y=a₂（x-h）²+k，请直接写出a₁与a₂的关系式为a₁+a₂=0．

Answer 1

分析 （1）根据“友好”抛物线的定义，可得答案；
（2）根据配方法，可得定点式解析式，可得抛物线的顶点坐标，对称轴，抛物线与y轴的交点，根据点关于直线对称，可得“友好”抛物线的顶点，根据待定系数法，可得“友好”抛物线的解析式；
（3）根据“友好”抛物线的关系，可得二次项的系数互为相反数．

解答 解：（1）一条抛物线的“友好”抛物线有无数条，
故选：D；
（2）由L₃：y=2x²-8x+4化成顶点式，得
y=2（x-2）²-4，
∴C（0，4），对称轴为x=2，顶点坐标（2，-4）．
∴点C关于对称轴x=2的对称点D（4，4）
设L₄：y=a（x-h）²+k
将顶点D（4，4）代入得，y=a（x-4）²+4
再将点（2，-4）代入得，-4=4a+4
解得：a=-2
L₃的友好抛物线L₄的解析式为：y=-2（x-4）²+4；
（3）若抛物线y=a₁（x-m）²+n的“友好”抛物线的解析式为y=a₂（x-h）²+k，请直接写出a₁与a₂的关系式为 a₁+a₂=0，
故答案为：a₁+a₂=0．

点评 本题考察了二次函数综合题，利用了“友好”抛物线间的关系：抛物线的图象互相经过对方的顶点，抛物线的解析式中二次项的系数互为相反数．