Question

如图，直线l：y=

3

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+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁、A₂、A₃在x轴上，
点B₁、B₂、B₃在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃均为等边三角形．则：
（1）∠BAO的度数是

 

；
（2）△A₂B₃A₃的周长是

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：（1）求得点A与B的坐标，即可求得∠BAO的度数；
（2）由△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃…均为等边三角形，易求得OB₁=OA=

3

，A₁B₁=A₁A，A₂B₂=A₂A，则可得OA₃=7

3

，则A₂A₃=OA₃-OA₂=4

3

，进而求出
△A₂B₃A₃的周长．

解答：解：（1）∵直线l：y=

3

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+1交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A（-

3

，0），点B（0，1），
∴OA=

3

，OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

1

3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°；

（2）∵△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁A=∠A₁B₂A=∠A₂B₃A=∠OAB=30°，
∴OB₁=OA=

3

，A₁B₂=A₁A，A₂B₃=A₂A，
∴OA₁=OB₁=

3

，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₂=

3

+2

3

=3

3

，
同理：OA₃=7

3

，
则A₂A₃=OA₃-OA₂=4

3

．
则△A₂B₃A₃的周长是12

3

．
故答案为30°；12

3

．

点评：此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．