Question

任意平方数除以8余数为0，1，4（这是平方数的又一重要特征）．

Answer 1

证明：奇数可以表示为2k+1，从而
奇数²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1．
因为两个连续正整数k，k+1中必有偶数，所以4k（k+1）是8的倍数，从而
奇数²=8t+1≡1（mod8），
偶数²=（2k）²=4k²（k为正整数）．
（1）若k=偶数=2t，则4k²=16t²≡0（mod8）．
（2）若k=奇数=2t+1，则4k²=4（2t+1）²=16（t²+t）+4≡4（mod8），
所以，平均数≡

0(mod8) 1(mod8) 4(mod8)

，
即任意平方数除以8余数为0，1，4．