Question

已知关于x的函数y=mx²+（m+1）x-2m+2，若m为整数，抛物线y=mx²+（m+1）x-2m+2与x轴两交点横坐标均为整数，且抛物线与y=x+2图象交点为A，B（A在B左侧），抛物线上M点位于AB下方，当△ABM面积最大时，求M点坐标及△ABM最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：令y=0，则mx²+（m+1）x-2m+2=0，解关于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=

m-1

m

，根据二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，所以m只能取1，从而求得抛物线的解析式，然后求得与直线y=x+2的交点A、B的坐标，设M（m，m²+2m），-2＜m＜1，直线x=m交AB：y=x+2于D（m，m+2），根据三角形面积公式得到S_△ABM=

1

2

DM（x_C-x_A），从而求得△ABM的面积的最大值，进而求得M的坐标；

解答：解：令y=0，则mx²+（m+1）x-2m+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=

m-1

m

，
二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，
所以m只能取1，
所以抛物线的解析式为y=x²+2x，
解

y=x2+2x y=x+2

得

x=1 y=3

或

x=-2 y=0

，
则A（-2，0），B（1，3），
设M（m，m²+2m），-2＜m＜1，
直线x=m交AB：y=x+2于D（m，m+2），
∴S_△ABM=

1

2

DM（x_B-x_A）=

3

2

（-m²-m+2）=-

3

2

（m+

1

2

）²+

21

8

，
∴△ABM的面积的最大值是

21

8

．
此时m=-

1

2

，
∴M（-

1

2

，-

3

4

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形的面积，函数的最值，方程思想的运用，熟悉根的判别式及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．综合性较强，有一定的难度．