Question

3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB、AC于点E，G，连接GF，下列结论：①AE=AG；②AB=（$\sqrt{2}$+1）AE；③GF∥AB；④BE=2OG．则其中正确的结论个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，由折叠的性质得到∠ADE=∠FDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=22.5°，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AG，即①正确；设EF=x，则AE=x，BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$x，AB=AE+BE=（$\sqrt{2}$+1）x，根据三角函数的定义得到AB=（$\sqrt{2}$+1）AE；即②正确；根据折叠的性质得到∠FGE=∠AEG，根据平行线的判定得到GF∥AB，即③正确；由上面的解答可得：AE=$\sqrt{2}$x，OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，于是得到BE=2OG，即④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADE=∠FDE=$\frac{1}{2}$∠ADB=22.5°，
则∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正确；
设EF=x，则AE=x，BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$x，AB=AE+BE=（$\sqrt{2}$+1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AE}$=$\sqrt{2}$+1，
∴AB=（$\sqrt{2}$+1）AE；即②正确；
∵∠AGE=∠FGE（折叠的性质），∠AGE=∠AEG（①已证），
∴∠FGE=∠AEG，
∴GF∥AB，即③正确；
由上面的解答可得：AE=$\sqrt{2}$x，OG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
故可得BE=2OG，即④正确．
综上可得：①②③④正确，共4个．
故选D．

点评 本题考查了翻折变换的知识，综合考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定及正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点，将所学知识融会贯通，难度较大．