Question

20．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，AE=CE，BC=AC=DC，则tan∠ABD•tan∠ADB=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由BC=AC=DC知A、B、D在以C为圆心的圆上，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF，由圆周角定理知∠ADF=∠ABF=90°，∠ABD=∠AFD、∠ADB=∠AFB，证△ABE∽△DFE、△ADE∽△BFE得$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{DE}$、$\frac{AD}{BF}$=$\frac{DE}{EF}$，从而由tan∠ABD•tan∠ADB=tan∠AFD•tan∠AFB=$\frac{AD}{DF}$•$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AD}{BF}$•$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{DE}$•$\frac{DE}{EF}$=$\frac{AE}{EF}$可得答案．

解答 解：∵BC=AC=DC，
∴点A、B、D在以C为圆心的圆上，
如图所示，延长AC交⊙C于点F，连接DF、BF、

则∠ADF=∠ABF=90°，∠ABD=∠AFD、∠ADB=∠AFB，
∵∠AEB=∠DEF、∠AED=∠BEF，
∴△ABE∽△DFE，△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{DE}$、$\frac{AD}{BF}$=$\frac{DE}{EF}$，
则tan∠ABD•tan∠ADB=tan∠AFD•tan∠AFB
=$\frac{AD}{DF}$•$\frac{AB}{BF}$
=$\frac{AD}{BF}$•$\frac{AB}{DF}$
=$\frac{AE}{DE}$•$\frac{DE}{EF}$
=$\frac{AE}{EF}$，
设AE=CE=x，则AC=CF=2x，
∴AF=4x，
∴EF=AF-AE=3x，
则tan∠ABD•tan∠ADB=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，根据圆周角定理证得两对三角形相似是解题的关键．