如图1.在△ABC中.AB=BC=a.AC=2b．D是B关于直线AC的对称点.连接BD交AC于O.连接AD.CD.P是线段BC上一动点.连接PO.PA．(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形.并说明理由,(2)设BP=x.△POA的面积为y.求y随x变化的解析式.写出自变量x的取值范围,(3)如图2.延长PO交线段AD于点Q.作QR⊥BC于R.设Rt△PQR的面积为s� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图1，在△ABC中，AB=BC=a，AC=2b．D是B关于直线AC的对称点，连接BD交AC于O，连接AD、CD，P是线段BC上一动点，连接PO、PA．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由；
（2）设BP=x，△POA的面积为y，求y随x变化的解析式，写出自变量x的取值范围；
（3）如图2，延长PO交线段AD于点Q，作QR⊥BC于R，设Rt△PQR的面积为s．当y=s时，试比较PA与PQ的大小，并对结论给予证明．

分析（1）利用对称的性质可得AB=AD，BD=DC，由AB=BC可得AB=BC=CD=DA，得出结论；
（2）首先由菱形的性质得AC⊥BD，AO=OC=b，BO=OD，设△ABC的BC边上的高为h，易得y=S_△AOP=$\frac{1}{2}{S}_{△ACP}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×PC×h$=$\frac{1}{4}$（a-x）h，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}BC×h$=$\frac{1}{2}AC×OB$，得h，得y随x变化的解析式；
（3）设Rt△PQR的面积为s．当y=s时，利用（2）中的公式可得PR=RC，连接OR，由OA=OC，利用中位线的性质可得AP=2OR，在Rt△PQR中，斜边的中线等于斜边的一半，可得PQ=2OR，所以AP=PQ．

解答解：（1）四边形ABCD是菱形．
∵D是B关于直线AC的对称点，
∴BD⊥AC，OB=OD，
∴AB=AD，BC=DC
又∵AB=BC，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=b，BO=OD，
BP=x，AB=BC=a，
∴PC=a-x，
设△ABC的BC边上的高为h，
则y=S_△AOP=$\frac{1}{2}{S}_{△ACP}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×PC×h$=$\frac{1}{4}$（a-x）h，
在Rt△AOB中，由勾股定理得BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
故由S_△ABC=$\frac{1}{2}BC×h$=$\frac{1}{2}AC×OB$得：
h=$\frac{AC×OB}{BC}$=$\frac{2b\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$
∴y=$\frac{1}{4}$（a-x）h=$\frac{b\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2a}$（a-x），（0≤x≤a）；

（3）PA=PQ，
∵Rt△PQR的面积为s，y=s，
∴y=$\frac{1}{4}$PC×h=s=$\frac{1}{2}PR×h$，
∴PC=2PR，
∴PR=RC，
连接OR，OA=OC，
∴AP=2OR，
在Rt△PQR中，O为斜边PQ中点，
∴PQ=2OR，
∴AP=PQ．