题目内容
（1）【操作发现】：
如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是
（2）【类比猜想】：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
（3）【深入探究】
图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．线段AF与BD之间的数量关系是
AF=BD
AF=BD
．（2）【类比猜想】：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明．
（3）【深入探究】
图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
分析：（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）同理可证△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AF，△BCF′和△DCA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF′=AD，即可得解．
（2）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF，再求出∠BCD=∠ACF，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）同理可证△BCD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AF，△BCF′和△DCA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF′=AD，即可得解．
解答：解：（1）∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD，
即∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF=BD；
（2）结论依然成立．
理由如下：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCF+∠ACD，
即∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF=BD；
（3）AF+BF′=AB．
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
同理可证，△BCF′≌△DCA（SAS），
∴BF′=AD，
∴AF+BF′=AB．
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCF-∠ACD，
即∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
|
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF=BD；
（2）结论依然成立．
理由如下：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCF+∠ACD，
即∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，
|
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴AF=BD；
（3）AF+BF′=AB．
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
同理可证，△BCF′≌△DCA（SAS），
∴BF′=AD，
∴AF+BF′=AB．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
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