Question

10．已知，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．

（1）如图①，AB=10，AD=2，求AC的长；
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求$\frac{AD}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由圆周角定理得出∠ACB=90°=∠ADC，再由弦切角定理得出∠ACD=∠B，证出△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，得出AC²=AB•AD，即可求出AC；
（2）先根据勾股定理求出AB，再由圆内接四边形的性质得出∠ACD=∠B，证出△ACD∽△ABC，得出比例式即可得出结果．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD=∠B，
又∵AD⊥CD，
∴∠CDA=90°=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD=10×2=20，
∴AC=2$\sqrt{5}$；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AD⊥CD，
∴∠CDA=90°=∠AGB，
又∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AB}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆的有关定理，证明三角形相似是解决问题的关键．