(1)如图1.等腰直角三角形ABC如图摆放.其中∠B=90°.点A(0.3).点B在x轴正半轴上.点C在第一象限.做CD⊥x轴于点D.求证:△ABO≌△BCD的条件下.若△ABC的面积=8.直接写出点C的坐标．.点B由原点出发沿x轴的正半轴方向运动.将线段AB绕着点B顺时针旋转90度．A点落在点C处.现有一个边长为2正方形EFGH如图摆放:其中点E(4.0).E.H两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．（1）如图1，等腰直角三角形ABC如图摆放，其中∠B=90°，点A（0，3），点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，做CD⊥x轴于点D，求证：△ABO≌△BCD
（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积=8，直接写出点C的坐标．
（3）如图2，若点A（0，3），点B由原点出发沿x轴的正半轴方向运动，将线段AB绕着点B顺时针旋转90度．A点落在点C处，现有一个边长为2正方形EFGH如图摆放：其中点E（4，0），E，H两点都在x轴上，若点C恰好落在正方形EFGH的边上时，则点C的坐标为（4，1）（直接写出）
（4）在（3）的条件下，点C随着点B的运动而运动，在整个运动的过程中，点C与点H最小距离为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

分析（1）如图1，利用AAS证明△ABO≌△BCD；
（2）根据面积为8求出AB的长，利用勾股定理求OB的长，则由（1）中的全等得出CD和OD的长，写出点C的坐标即可；
（3）由（1）全等可得点C的坐标为（4，1）；
（4）如图3，当点C在正方形EFGH的对角线上时，点C与点H距离最小，设OB=x，根据全等三角形对应边相等得PE=x-1，所以PH=3-x，由△CPH为等腰直角三角形，列式x=3-x，求出x的值，则CH=$\sqrt{2}$PC，得出结论．

解答解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴△ABO≌△BCD；
（2）如图1，∵△ABC的面积=8，
∴$\frac{1}{2}$AB•BC=8，
∵AB=BC，
∴AB=BC=4，
∵A（0，3），
∴OA=3，
∵△ABO≌△BCD，
∴BD=OA=3，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴C（3+$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$）；
（3）当C落在边EF上时，如图2，
由（1）得：△AOB≌△BEC，
∴BE=OA=3，EC=OB，
∵E（4，0），
∴OE=4，
∴OB=4-3=1，
∴EC=OB=1，
∴C（4，1）；
（4）如图3，当点C在正方形EFGH的对角线上时，点C与点H距离最小，
过C作CP⊥x轴于P，
设OB=x，
∵△AOB≌△BPC，
∴BP=AO=3，PC=OB=x，
∵OE=4，
∴EP=3+x-4=x-1，
∵正方形EFGH边长为2，
∴EH=2，
∴PH=2-EP=2-（x-1）=3-x，
∵∠FHE=45°，
∴△CPH为等腰直角三角形，
∴PC=PH，
∴x=3-x，
x=$\frac{3}{2}$，
∴CH=$\sqrt{2}$PC=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．