Question

4．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
$p=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}t+16（1≤t≤40，t为整数）\\-\frac{1}{2}t+46（41≤t≤80，t为整数）\end{array}\right.$，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．

解答 解：（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=198}\\{80k+b=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+200（1≤x≤80，t为整数）；

（2）设日销售利润为w，则w=（p-6）y，
①当1≤t≤40时，w=（$\frac{1}{4}$t+16-6）（-2t+200）=-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450，
∴当t=30时，w_最大=2450；
②当41≤t≤80时，w=（-$\frac{1}{2}$t+46-6）（-2t+200）=（t-90）²-100，
∴当t=41时，w_最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450，
令w=2400，即-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函数w=-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，

而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．


（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（$\frac{1}{4}$t+16-6-m）（-2t+200）=-$\frac{1}{2}$t²+（30+2m）t+2000-200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．

点评 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质是解题的关键．