Question

9．如图，G为BC的中点，且DG⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF．
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）如果AB=8，AC=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）因为G为BC的中点，且DG⊥BC，则DG是线段BC的垂直平分线，考虑连接DB、DC，利用线段的垂直平分线的性质，又因为DE⊥AB，DF⊥AC，可通过DE=DF说明AD是∠BAC的平分线；
（2）先通过△AED与△ADF的全等关系，说明AE与AF的关系，利用线段的和差关系，通过线段的加减求出AE的长．

解答 解：（1）连接BD、DC
∵DG⊥BC，G为BC的中点，
∴BD=CD，
∵DG⊥BC，DE⊥AB
∴∠BED=∠CFD，
在Rt△DBE和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△DBE≌△DFC
∴DE=DF，
∴∠BAD=∠FAD
∴AD是∠BAC的平分线；
（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD
∴△AED≌△ADF，
∴AE=AF
∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，
∴AB+AC=AE+AF，
∵AB=8，AC=6，
∴8+6=2AE，
∴AE=7．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质和判定、角的平分线的性质与判定以及三角形的全等．利用线段的和差及等式的性质是解决本题的关键．