如图.在矩形ABCD中.AB=6cm.AD=8cm.点P从点A出发沿AD向点D匀速运动.速度是1cm/s,同时.点Q从点C出发沿CB方向.在射线CB上匀速运动.速度是2cm/s.过点P作PE∥AC交DC于点E.连接PQ.QE.PQ交AC于F．设运动时间为t.解答下列问题:(1)当t为何值时.四边形PFCE是平行四边形,(2)设△PQE的面积为s(cm2).求s与t之间的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s；同时，点Q从点C出发沿CB方向，在射线CB上匀速运动，速度是2cm/s，过点P作PE∥AC交DC于点E，连接PQ、QE，PQ交AC于F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形PFCE是平行四边形；
（2）设△PQE的面积为s（cm²），求s与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积为矩形ABCD面积的$\frac{9}{32}$；
（4）是否存在某一时刻t，使得点E在线段PQ的垂直平分线上．

分析（1）根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可；
（2）证明△DPE∽△DAC，根据相似三角形的性质用t表示出DE、CE、PE，根据面积公式计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（4）根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列式计算．

解答解：（1）当PQ∥CD时，四边形PFCE是平行四边形，
此时，四边形PQCD是平行四边形，
则PD=CQ，即8-t=2t，
解得，t=$\frac{8}{3}$，
即当t=$\frac{8}{3}$时，四边形PFCE是平行四边形；

（2）∵PE∥AC，
∴△DPE∽△DAC，
∴$\frac{DP}{DA}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{PE}{AC}$，即$\frac{8-t}{8}$=$\frac{DE}{6}$=$\frac{PE}{10}$，
解得，DE=6-$\frac{3}{4}$t，PE=10-$\frac{5}{4}$t，
则CE=$\frac{3}{4}$t，
∴y=S_{四边形PQCD}-S_△PDE-S_△ECQ
=$\frac{1}{2}$×（8-t+2t）×6-$\frac{1}{2}$×（8-t+2t）×（6-$\frac{3}{4}$t）-$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{4}$t
=-$\frac{9}{8}$t²+9t，
即s与t之间的函数关系式为：y=-$\frac{9}{8}$t²+9t；

（3）矩形ABCD面积为：6×8=48，
由题意得，-$\frac{9}{8}$t²+9t=48×$\frac{9}{32}$，
解得，t=2或6；

（4）当点E在线段PQ的垂直平分线上时，EP=EQ，
由勾股定理得，（2t）²+（$\frac{3}{4}$t）²=（8-t）²+（6-$\frac{3}{4}$t）²，
解得，t₁=$\frac{-25-5\sqrt{73}}{6}$（舍去），t₂=$\frac{-25+5\sqrt{73}}{6}$，
答：t=$\frac{-25+5\sqrt{73}}{6}$时，点E在线段PQ的垂直平分线上．

点评本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、矩形的性质定理是解题的关键．

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