Question

2．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，直线l⊥BC于C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥AP交l于点Q．
（1）在题目给出的图形中证明∠A=∠QPC；
（2）当点P在射线上运动到何处时，PA=PQ？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的两内角互余以及∠A+∠APB=90°，根据同角的余角相等，即可证得；
（2）P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，此时易证△ABP≌△PCQ，即可证得．

解答 （1）证明：∵PQ⊥AP，
∴∠ABP=90°
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵AB⊥BC于点B，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠QPC；

（2）解：当P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，

证明：当PC=2时，PC=AB，
在△ABP与△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠PCQ}\\{PC=AB}\\{∠A=∠QPC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ；
同理，BP=7时，PC=2也符合，

所以，点P运动到与点C距离为2时，PA=PQ．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及余角的性质：同角的余角相等，正确证明∠A=∠QPC是关键．