Question

6．如图，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，以CE为边作等边△CEF，连接EF．
（1）求证：BE=AF；
（2）猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）欲证明BE=AF，只要证明△BCE≌△ACF即可；
（2）结论：AB-AF=BD．作DM∥AC交AB的延长线于M．首先证明△BDM是等边三角形，再证明△EDM≌△CAE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵△ABC，△CEF都是等边三角形，
∴CB=CA，CE=CF，∠BCA=∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCE=∠ACF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF．
∴BE=AF．

（2）解：结论AB-AF=BD．
理由：作DM∥AC交AB的延长线于M．
∴∠M=∠CAE=∠ABC=∠DBM=60°，
∴△DBM是等边三角形，
∴DM=BM=BD，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EBC=∠EDC+∠DEM=60°，∠ECB+∠ACE=60°，
∴∠DEM=∠ACE，
∴△EDM≌△CAE，
∴DM=AE，EM=AC=AB，
∴AE=BM=BD，
∵BE=AF，
∴AB-AF=AB-BE=AE=BD，
∴AB-AF=BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形．